符號同步 - Moerjie

符號同步#

通信過程中，在接收機中，信號經過 AD 採樣後，經過處理後，最後需要通過抽樣器抽樣判決還原出原始的信號，抽樣器工作的時鐘被稱為符號時鐘，接收器提取符號時鐘的方法稱為符號同步或者定時恢復。
常用的符號同步方法有三種，傳統模擬方法，模數混合方法，全數字方法。
其中模擬方法和模數混合方法有多種缺點：

同步的性能受環路濾波器的影響非常大，且理論分析非常困難
采用高階調製時，鎖相環的設計非常困難
鎖相環會存在盲區失鎖
但是全數字方法不存在以上問題，采用開環方式，具有快速跟踪和收斂的優勢

符號同步實現框圖#

整個解調流程中，由於信道為衛星通信信道，信號傳輸距離遠，載波頻偏嚴重，因此先進行載波同步完成數字解調，再進行符號同步，匹配濾波放在符號同步後進行。

插值濾波器#

插值濾波器是符號同步的心臟部分，整個符號同步都是依據插值濾波原理設計的

插值濾波器原理#

輸入信號經過 D/A 變換和模擬濾波器後，輸出信號為：

\begin{aligned}y(t)=\sum_{m}x(mT_{s})h(t-mT_{s})\end{aligned}

在 $t=kT_i$ 時刻重採樣後內插輸出信號為：

\begin{aligned}y(kT_i)=\sum_{m}x(mT_{s})h(t-mT_{s})\end{aligned}

再經過一系列的計算得：

Y (kT_i)=y[(m_k+\mu_k) T_s]=\sum_{i=N_1}^{N_2}x[(m_k-i) T_s]h[(i+\mu_k) T_s]

上式即為數字內插器的基本方程

工程應用#

常用的插值濾波器有簡單的線性內插器和分段抛物線內插器以及拉格朗日內插器。線性內插器有兩個樣值點參加運算，分段和拉格朗日有多個樣值點參與運算。衝激響應函數分別如下：
線性插值濾波器：

h\:(t)=\begin{cases}1+t\:/\:T_s\:,&\quad-T_s\leq t\leq0\\1-t\:/\:T_s\:,&\quad0_s\leq t\leq T_s\\0,&\quad others\end{cases}

分段抛物線插值濾波器：

h(t)=\begin{cases}\rho(t/T_s)^2+3\beta(t/T_s)+2\beta\:,&\quad-2T_s\leq t\leq-T_s\\-\beta(t/T_s)^2-(\beta-1)(t/T_s)+1,&\quad-T_s\leq t\leq0\\-\beta(t/T_s)^2+(\beta-1)(t/T_s)+1,&\quad0\leq t\leq T_s\\\beta(t/T_s)^2-3\beta(t/T_s)+2\beta,&\quad T_s\leq t\leq2T_s\\0,&\quad others\\\end{cases}

立方插值濾波器：

h(t)=\begin{cases}\frac16(t/T_z)^2+(t/T_z)^2+\frac{11}{6}(t/T_z)+1,&\quad-2T_z\leq t\leq-T_z\\-\frac12(t/T_z)^3-(t/T_z)^2+\frac12(t/T_s)+1,&\quad-T_z\leq t\leq0\\\frac12(t/T_z)^3-(t/T_z)^2-\frac12(t/T_s)+1,&\quad0\leq t\leq T_z\\-\frac16(t/T_z)^3+(t/T_z)^2-\frac{11}6(t/T_s)+1,&\quad T_z\leq t\leq2T_s\\0,&\quad others\\\end{cases}

三種濾波器的衝激響應都關於零點對稱，滿足插值濾波器要求；且在樣點時刻不為 0，其他整數時刻為 0，滿足奈奎斯特無失真抽樣定理

基於多項式的插值濾波器#

上述三種的缺點是參數恆定，無法根據不同的系統要求做出改變。該濾波器使用 Farrow 結構實現
多項式基函數為：

f_n (t)=\begin{cases}(2 t/T_s-1)^n,&\quad 0\leq t\leq T_s\\0,&\quad others\end{cases}

n 為多項式階數，t 為內插點整數間隔
衝激響應為：

h(t)& =\sum_{i=0}^{\frac N2-1}\sum_{n=0}^{L}c_n(i)f_n(t-iT_s) \\ &=\sum_{i=0}^{\frac N2-1}\sum_{n=0}^{L}c_n(i)g_n(t-iT_s) \end{aligned}$$ 其中的 $$\begin{aligned}g_n(t-iT_s)&=\int_n(t-iT_s)+(-1)^nf_n(t+(i+1)T_s)\\&=\begin{cases}(\frac{2(t-iT_s)}{T_s}-1)^n&iT_s\leq t\leq(i+1)T_s\\\\(-1)n(\frac{2(t+(i+1)T_s)}{T_s}-1)^n&-(i+1)T_s\leq t\leq-iT_s\\\\0&\text{其他}&\end{cases}\\\end{aligned}$$ ### 定時誤差估計 Gardner 算法是一種適用於 BPSK/QPSK 的每符號採樣兩點的算法，具有所需採樣點少，易於高速實現，且具有檢測性能不受載波相位恢復影響等優點 對於 BPSK 信號，Gardner 算法表示為： $$ \begin{aligned} U (n)& =x (\tau+(n-1/2) T)[x (\tau+nT)-x (\tau+(n-1) T)] \\ &=x (n-1/2)[x (n)-x (n-1)] \end{aligned}

對於 QPSK 信號，Gardner 算法表示為：
$u(n)=x_I(n-1/2)[x_I(n)-x_I(n-1)]+x_Q(n-1/2)[x_Q(n)-x_Q(n-1)]$

環路濾波器#

工程中，環路濾波器一般使用一階積分濾波或者卡爾曼濾波
一階積分濾波的衝激響應為：
$y(n)=y(n-1)+c_1[x(n)-x(n-1)]+c_2x(n)$
其中 $c_1=\frac {2\omega_n}{K}$, $c_2=\frac {\omega_n^2}{Kf}$

插值控制器#

插值控制器的作用是控制插值運算，接收定時誤差信號，運算後給內插濾波器提供內插運算所需要的控制量參數 $m_k 和 \mu_k$
控制器由 NCO 和分數間隔計算器組成，NCO 的作用是溢出產生時鐘，即確定內插基點 $m_k$，分數間隔計算器主要計算 $\mu_k$，提供給內插器進行內插
模 1 的相位遞減器，差分方程為：

\eta(m+1)=[\eta(m)-W(m)]\mathrm{mod}1

其中 $\eta (m)$ 為第 m 個工作時鐘的 NCO 寄存器內容，$W (m)$ 為 NCO 控制字，即相位遞減的步長，由環路濾波器調節，使內插器輸出最佳採樣點，近似為 $W (m)=\frac {T_s}{T_i}$。
分數間隔為：

\mu_k=\xi_0\eta(m_k)，其中\xi_0=\frac{1}{W(m)}